第二讲 收敛原理与重要极限

定义 2.1：设 $A$ 为 $\mathbb R$ 的非空子集。

(1) 称 $A$ 的最小上界 $\xi$ 为 $A$ 的上确界，记作 $\xi=\sup A$。

(2) 称 $A$ 的最大下界 $\eta$ 为 $A$ 的下确界，记作 $\eta=\inf A$。

注 2.2：若 $A$ 无上界，记 $\sup A=+\infty$；若无下界，记 $\inf A=-\infty$。

注 2.3：空集没有上、下确界，约定 $\sup\varnothing=-\infty,\ \inf\varnothing=+\infty$。

定义 2.2：称 $\{x_n\}$ 为 Cauchy 列，若 $\forall\varepsilon>0,\exists N\in\mathbb N$，使 $\forall n,m>N$，都有 $|x_n-x_m|<\varepsilon$。

注 2.4：$\{x_n\}$ 为 Cauchy 列 $\Leftrightarrow \forall\varepsilon>0,\exists N,\forall n>N,\forall p\in\mathbb N$，都有 $|x_n-x_{n+p}|<\varepsilon$。

定理 2.1（确界原理）：非空有上（下）界的集合必有上（下）确界。

定理 2.2（单调收敛原理）：单调有界列必收敛。

定理 2.3（闭区间套定理）：若闭区间列 $[a_n,b_n]$ 满足 $[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_n,b_n]$ 且 $\lim(b_n-a_n)=0$，则存在唯一 $\xi$ 属于所有区间，且 $a_n,b_n\to\xi$。

定理 2.4（有限覆盖定理）：有界闭区间 $[a,b]$ 的任意开覆盖有有限子覆盖。

定理 2.5（Bolzano-Weierstrass 列紧性定理）：有界列必有收敛子列。

定理 2.6（Cauchy 收敛原理）：收敛列 $\Leftrightarrow$ Cauchy 列。

定理 2.7（Stolz）：设 $\{b_n\}$ 严格单调，$\lim \frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=A$。

(1) $\infty/\infty$ 型：若 $\lim b_n=\infty$，则 $\lim \frac{a_n}{b_n}=A$。

(2) $0/0$ 型：若 $\lim a_n=\lim b_n=0$，则 $\lim \frac{a_n}{b_n}=A$。

$$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e;\qquad \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1+\frac1n)}{\frac1n}=1.$$

题目：判断正误。若正确，请证明；若错误，请举出反例。

(1) $\lim_{n\to\infty}|x_n-x_{n+p}|=0,\ \forall p\in\mathbb N \Rightarrow \{x_n\}$ 为 Cauchy 列；

(2) $|x_n-x_{n+p}|\le \frac{p}{n},\ \forall p,n\in\mathbb N \Rightarrow \{x_n\}$ 为 Cauchy 列；

(3) $|x_n-x_{n+p}|\le \frac{p}{n^2},\ \forall p,n\in\mathbb N \Rightarrow \{x_n\}$ 为 Cauchy 列。

题目：设 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac1{a_1+a_2+\cdots+a_n}$。求证：$\lim_{n\to\infty}a_n=+\infty$。

题目：设函数 $f$ 在 $[a,b]$ 上有定义，值域 $f([a,b])\subset[a,b]$，且 $$|f(x)-f(y)|\le \alpha|x-y|,\quad \forall x,y\in[a,b],$$ 其中 $0<\alpha<1$。证明：存在唯一 $\xi\in[a,b]$，使 $f(\xi)=\xi$。

题目：$x_1=\sqrt2$，$x_{n+1}=\sqrt2+\frac{x_n-1}{\sqrt2+x_n}$，证明 $\{x_n\}$ 收敛，并求其极限。

题目：设 $\{a_n\}$ 严格单调递减，$\lim a_n=0$。令 $b_n=\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1}a_k$，证明：$\{b_n\}$ 收敛，且 $\lim b_n

题目：$a_1>a_2$，$a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}2$，求 $\lim_{n\to\infty}a_n$。

题目：已知 $\lim_{n\to\infty}(1+\frac1n)^n=e$。记 $$a_n=\left(1+\frac1n\right)^n,\quad b_n=\left(1+\frac1n\right)^{n+1},\quad c_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n-\ln n.$$ 求证：
(1) $\{a_n\}$ 严格单调递增，$\{b_n\}$ 严格单调递减，且 $a_n (2) $\{c_n\}$ 收敛（Euler 常数）；
(3) $\lambda_n=\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{2n}$，求 $\lim\lambda_n$；
(4) $\mu_n=\frac1{\sqrt{n(n+1)}}+\cdots+\frac1{\sqrt{2n(2n+1)}}$，求 $\lim\mu_n$。

题目：对数列 $\{a_n\}$，记 $A_n=\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}$。若 $\lim A_n=A$，求证： $$\lim_{n\to\infty}\frac1{\ln n}\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{k}=A.$$

题目：设 $0 (1) $\lim a_n=0$；
(2) $\lim\left(\frac1{a_{n+1}}-\frac1{a_n}\right)=1$；
(3) $\lim n a_n=1$；
(4) $\lim \frac{n(1-na_n)}{\ln n}=1$。

题目：设 $\{x_n\}$ 为有界列，令 $$\alpha_n=\sup\{x_n,x_{n+1},\cdots\},\quad \beta_n=\inf\{x_n,x_{n+1},\cdots\}.$$ 证明：
(1) $\lim\alpha_n$ 与 $\lim\beta_n$ 都存在，且 $\lim\alpha_n\ge\lim\beta_n$；
(2) $\lim x_n$ 存在 $\Leftrightarrow$ 上极限等于下极限；
(3) $\forall\varepsilon>0$，在区间 $(\liminf x_n-\varepsilon,\limsup x_n+\varepsilon)$ 之外最多有有限项；
(4) 存在子列收敛到上极限，也存在子列收敛到下极限。

题目：是否存在发散数列 $\{a_n\}$，使得对任意给定的 $k\ge2$，子列 $\{a_{kn}\}$ 皆收敛？若存在，请举例；若不存在，请说明理由。

题目：已知 $a_1>0$，$a_{n+1}=\frac{a_n}{2}+\frac1{a_n}$，证明 $\{a_n\}$ 收敛，并求 $\lim_{n\to\infty}a_n$。

题目：设 $a_1>b_1>0$。定义 $$a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1}=\frac{2a_nb_n}{a_n+b_n},\quad n=1,2,\ldots$$ 试证：数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 都收敛，并求 $\lim a_n$ 与 $\lim b_n$。

题目：设 $a\in\mathbb R$，$x_1=\sin a$，$x_{n+1}=\sin x_n$。证明：$\{x_n\}$ 收敛，并求其极限。

题目：设数列 $\{m_n\}$ 中每一项 $m_n$ 都为正整数，记 $$x_n=\left(1+\frac1{m_1}\right)\left(1+\frac1{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac1{m_n}\right),$$ $$y_n=\frac1{m_1}+\frac1{m_2}+\cdots+\frac1{m_n},\quad n\ge1.$$ 试证：$\{x_n\}$ 与 $\{y_n\}$ 同时收敛或同时发散。

题目：设 $a\in\mathbb R$，令 $$x_n=\frac{\sin2a}{2(2+\sin2a)}+\frac{\sin3a}{3(3+\sin3a)}+\cdots+\frac{\sin na}{n(n+\sin na)},\quad n\ge2.$$ 试判断 $\{x_n\}$ 是否收敛。

题目：已知 $u_n\ge0$，$x_n=\sum_{k=1}^n u_k$，$y_n=\sum_{k=1}^n \sqrt{u_k u_{k+1}}$。证明：若 $\{x_n\}$ 收敛，则 $\{y_n\}$ 也收敛。

题目：若存在常数 $c\ge0$，使得 $$|x_2-x_1|+|x_3-x_2|+\cdots+|x_n-x_{n-1}|

(1) 证明：有有界变差的数列一定是收敛列。

(2) 试问：收敛列是否都有有界变差？请说明理由。

题目：设 $0<\alpha<1$，$\beta\in\mathbb R$。证明：方程 $x-\alpha\cos x=\beta$ 有唯一解。

题目：证明下列不等式：

(1) $\left(\frac ne\right)^n

(2) $\left(1+\frac1n\right)^n>e^{1-1/n}$（$n\in\mathbb N$）；

(3) $\frac1n-\frac1{n^2}<\ln\left(1+\frac1n\right)<\frac1n$（$n\in\mathbb N$）；

(4) $0

题目：求下列极限：

(1) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1^2+3^2+5^2+\cdots+(2n+1)^2}{n^3}$；

(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac1{\sqrt2}+\cdots+\frac1{\sqrt n}}{\sqrt n}$；

(3) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac12+\cdots+\frac1n}{\ln n}$；

(4) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}$。

题目：设 $a_1>0$，$a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}$，$n=1,2,\cdots$。证明： $$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\sqrt{2n}}=1.$$

题目：对数列 $\{a_n\}$，$\{p_n\}$，记 $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$，试证以下结论：

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^n p_k a_k=p_nA_n-\sum_{k=1}^{n-1}(p_{k+1}-p_k)A_k,\quad \forall n\ge1$。

(2) 若 $\{A_n\}$ 收敛，$\{p_n\}$ 为单调递增的正数列，且 $\lim p_n=+\infty$，则 $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^n p_k a_k}{p_n}=0.$$

知识点讲解

上界定义：要多近有多近。

柯西列：能够在有限项达到任意有限精度。实际上就是两种模式：极限的定义以最终的极限为基准，以任意精度为半径画圆；柯西列的定义以目前的项为基准，以任意精度画圆。反向用只需反驳，所以按照最坏情况：每一步都取等，每一项都迈得最大。如果这个式子发散，原数列自然不可能收敛。注意每个 $\varepsilon$ 都要落到一个 $n$ 上，而不是一个变动的 $n$，因为考量的是某一项向后看的差距。

列紧性定理：有界列必有收敛子列。对半开，总有一边无限，然后依递推，最终达到无限逼近。

Stolz 定理：无穷与 $0$。无穷大相当于直线，比值自然趋近于斜率；$0$ 相当于洛必达，从 $0$ 出发，一步迈出去多少，比值就是多少。

重要极限：证明 $e$ 的极限，用单调有界定理证明 $e$ 的存在性。均值不等式，左边乘以 $1$；均值不等式，左边乘以两个 $1/2$。左右两个式子等价，左边取对数就是右边。

例题讲解要点

2.1：柯西列有一个确定的 $n$ 和 $\varepsilon$ 对应。一次式发散，二次式收敛。巴塞尔问题可几何画圆。幂函数收敛问题用积分：积分出来收敛就收敛；去掉第一项，从第二项开始，从 $1$ 开始积分，数列和小于总面积，并且总面积有限，所以收敛。

2.2：相减大于 $1/(na)$，所以有调和发散。

2.3：定义数列，前一项的函数值是后一项的值；利用柯西列定义得收敛；定义极限，用约束式，知道自变量趋近时函数值也趋近；再用双值矛盾，函数值的差小却又相等，故矛盾。

2.4：看是不是单调。先判断递增还是递减：递减相当于负反馈调节，递增相当于正反馈调节。是正，所以只要开始增就是增，只要开始减就是减。找个上界就是收敛。

2.5：现阶段证明比较乏味，可先不讲。交错级数通过几何办法理解：先正，然后交错，画图，必然收敛，必然小于第一项。

2.6：差距越来越小，所以最后可以用柯西列证明收敛。直接两项相减递推会回到最开始；或者直接理解，上下来回震荡，直接写出最后的式子。

2.7：第一个已经证明，第二个和第一个同源，直接颠倒过来用倒数，然后换元用第一步结论。用两个式子取对数得到不等式，再利用这个式子缩小，得到 $0$，然后相减去、用不等式即得到递减，就可以收敛。直接极限代换就好。两者相差很近，所以直接放大或者放小，然后极限情况夹一下，用到前面的结论。

2.8：先裂成累加项的运算，然后最后一项极限化作用丢失，前面符合 Stolz，然后化简用重要极限，全部都约掉了。

2.9：单调下降，大于 $0$，直接极限化，解出来是 $0$。倒过来裂项，然后直接极限。按照第二项的暗示，然后用 Stolz。暴力拆解，提出一个前面的项，然后 Stolz，代换后上下同时乘以 $n$，难度确实很大。然后分局部看，主要想到乘以 $n$ 就是因为 $a_n$ 直接带入就会变成 $0$，和下面组合就是 $0/0$ 没结果，所以放大到正常的量级来操作。

2.10：一笔带过算了，就是一些显然的结论。

习题讲解要点

2.1：差异，这里可以变成两个数的乘积，所以就是合数列，利用素数、合数的震荡来证明。这里有一个点，如何证明素数无穷多个，就是欧几里得证明法子。

2.2：先基本不等式感受大小，然后算两项差得到一个单调函数，然后根据临界算出单减，所以单调有界，直接取极限就好。

2.3：先 $a-b$，然后就可以知道 $a$ 比 $b$ 大，得到一个平方和。然后由于老是取二者平均，或者说放缩，所以两者靠近。所以二者都是单调有界，分别有极限，极限运算得到相等，最终得到均根。

2.4：先看前面几项，$-1$ 到 $1$，已经落在单调区间里面了，然后用正弦放缩，所以不管正负都是越来越趋近 $0$，然后 $0$ 为界，所以就是单调有界，最后求解只有 $0$。

2.5：先转换为对数，处理连乘不习惯。对数里面 $1+$ 分数的两种同源放缩，然后得到两边，都是的对面，注意把 $1$ 放缩到 $m$。

2.6：三角其实一般就是 $1$。直接化简得到一个积，然后直接列项就可以啦。

2.7：放缩。基本不等式，然后右边最多最多直接两倍 $x$ 的极限。

2.8：若非柯西列，就按相邻的波动约束，如果没办法比这个小，那么加起来会超过 $c$，故是柯西列收敛。这里给出的是绝对值，所以要充分震荡，使得超过 $c$。那么就正负调和级数。

2.9：看到三角函数的局限性，就是最倾斜的地方导数是 $1$，所以无法撼动 $x$ 的增减，求导单调即可，由连续函数介质定理就可以啦。

2.10：没思路就直接归那就好。带入定义式直接出来了。2.3 前面等价，3 后面就是定义式。利用 2 做减法，然后提取 $e$ 用切线放缩，再把 $e$ 放到 3。

2.11：直接 Stolz，然后看最高次；Stolz；Stolz 然后上下同时乘以 $n$ 其实就好了；取对数然后 Stolz，然后配一配 $n$ 得到 $-1$，最后 $1/e$。

2.12：先看出单增，假设收敛无解，所以发散，只能趋向正无穷。看到根号，先平方，然后回过头来平方前面，然后利用趋向无穷进行化简。

2.13：画个图解释一下算了，就是阶梯方块。第二部分先 Abel 变换，然后后面一般就是拆成 $A+(A_k-A)$。前面直接求和相消，变成一个无限逼近 $A$ 的权重；后面一半，仔细看一部分和是趋近于 $1$，另外一部分是趋近于 $0$，所以又是一个后面长尾其实可以非常小。前面有限多，所以可以这样说：取 $N$ 使得后面差极小，然后乘以前面小于 $1$ 的加权还是极小；然后看前面，只需要 $p_n$ 足够大，前面也是 $\varepsilon$，所以就解决了问题。